Vielen Dank für die Antwort und die vielen Tipps! 
Mit dem kleinen Knopf in der Mitte habe ich, seit das passiert ist, das Display an- und ausgeschalten. Das funktioniert soweit auch, nur, dass eben lediglich das Standard-Menü angezeigt wird.
Wenn ich die Kamera-Taste links neben dem Lenkrad drücke, passiert nichts. Das Display wechselt nicht auf den Kamera-Modus, wird aber auch nicht schwarz oder so.
Beim Herausnehmen der SD-Karte, kommt die von dir angesprochene Anzeige im Display. Das ist aber auch so da, wenn die SD-Karte eingelegt ist (habe auch geprüft, dass sie nicht auf "Lock" steht) - weshalb ich vermute, dass die Karte aktuell gar nicht erkannt wird.
Bluetooth habe ich bisher noch nicht deaktiviert und wieder aktiviert. Das versuche ich direkt.
Ansonsten muss ich wohl mit dem Auto nochmal zur Mazda-Werkstatt und prüfen lassen, was los ist. Dass eine defekte CMU ziemlich teuer werden kann, habe ich auch an anderer Stelle gelesen ... 
Danke dir nochmals!